Büyük Silindirik Bir Cismin Etrafında Kararlı Nokta Kütle Yörüngeleri Mümkün mü?

Arthur C. Clarke'ın 1973'te yayımlanan Rama ile Randevu romanında Güneş Sistemi'ne yabancı bir cisim girer. Rama 50 kilometre boyunda, 20 kilometre çapında bir silindirdir ve dört dakikada bir kendi ekseni çevresinde döner. Clarke kütlesini de yazar: en az on milyon milyon ton, yani 10¹⁶ kilogram.¹ Komutan Norton'un gemisi Endeavour silindirin dönen kapağına, tam eksenin üstüne iner.

Romanda kimse Rama'nın çevresinde yörüngeye girmez. Bu kadar büyük bir silindirin yanında bir uydunun düzenli tur atıp atamayacağı ise kalem kâğıtla hesaplanabiliyor.

Çekim uzaklıkla daha yavaş zayıflıyor

Newton, Principia'da düzgün bir kürenin dışarıdaki her noktayı bütün kütlesi merkezde toplanmış gibi çektiğini gösterdi.² Küreden uzaklaştıkça çekim uzaklığın karesiyle azalır; iki kat uzakta dört kat zayıflar. Silindir için aynı kolaylığı Gauss yasası sağlar. Sonsuz uzunlukta düzgün bir silindirin dışında çekim yalnızca eksene olan uzaklığa bağlıdır ve uzaklıkla doğru orantılı azalır, yani iki kat uzakta yalnızca iki kat zayıflar. Silindir içi boşsa, içerideki çekim sıfırdır.³

Bu küçük fark yörünge hızını tamamen değiştiriyor. Dairesel yörüngede çekim ile merkezkaç etkisi dengelenince hız yalnızca metre başına düşen kütleye bağlı kalır, uzaklık hesaptan düşer. Rama'nın kütlesini boyuna bölünce metre başına 200 milyon ton çıkıyor. Bu değerde sonsuz bir silindirin çevresindeki dairesel hız saniyede 5,2 metre: 1 kilometre ötede de, 1.000 kilometre ötede de aynı.

Rama sonsuz değil. Romandaki ölçüleri ince bir silindir kabuğu olarak alıp çekimi parça parça topladık.⁴ Bel hizasında, yüzeyin 5 kilometre üstünde dairesel hız saniyede 4,8 metre ve bir tur 5,4 saat sürüyor. 50 kilometre ötede tur 25 saate uzuyor. 100 kilometreden sonra silindir, aynı kütlede bir noktadan hız farkıyla ayırt edilemiyor: saniyede 2,55 metreye 2,58 metre.

Kararlı yörünge kapanmıyor

Bir yörüngenin kararlı olup olmadığını anlamak için onu biraz bozup ne olduğuna bakılır. Uydu çemberinden azıcık içeri itildiğinde çekim merkezkaç etkisinden daha hızlı artarsa uydu toparlanamaz ve sarmal çizerek düşer. Mekanik ders kitaplarındaki ölçüt kısa: kuvvet uzaklığın n'inci kuvvetiyle değişiyorsa, dairesel yörünge n sayısı −3'ten büyük olduğu sürece kararlıdır.⁵ Kürenin çekiminde n = −2, silindirinkinde n = −1. Silindir sınırın küreden de uzağında duruyor.

Bozulan yörünge çembere geri oturmaz, çevresinde salınır. Newton bu salınımın açısını da hesaplamıştı. Kuvvet uzaklıkla ters orantılıysa en yakın nokta ile en uzak nokta arasında 180 derece yerine 180/√2, yani yaklaşık 127,3 derece kalır.⁶ Uydu en uzak noktasına bir sonraki seferinde 360 değil 255 derece sonra varır. Her turda elips biraz kayar ve yörünge gül deseni çizer.

Joseph Bertrand 20 Ekim 1873'te Paris Bilimler Akademisi'ne bunun genel nedenini sundu. Sınırlı yörüngelerin hepsinin kapandığı yalnızca iki kuvvet yasası vardır: uzaklığın karesiyle azalan çekim ve uzaklıkla artan yay kuvveti.⁷ Silindirin çekimi ikisine de uymuyor. Kapalı yörünge yine de kurulabilir, ama ancak özel hızlarda; rastgele fırlatılan bir uydu kendi izine bir daha basmaz.

Sonsuz silindirin bir tuhaflığı daha var: çekiminden kaçılamaz. Çekim enerjisi uzaklıkla sınırsız büyüdüğü için, ne kadar hızlı fırlatılırsa fırlatılsın cisim bir en uzak noktaya varıp geri döner.⁸ Rama sonlu olduğundan bu kural ona işlemiyor. Bizim hesabımızda yüzeyden kaçış hızı saniyede 9,3 metre çıkıyor; yürüyen bir insanın hızının altı katından fazla.

Eksen boyunca kayma

Sonsuz silindirde eksen yönünde hiçbir kuvvet yoktur, çünkü her noktanın üstünde ve altında eşit kütle kalır. Uyduya eksen boyunca küçük bir hız verilirse sarmal çizerek kaymaya başlar ve bu kayma ne büyür ne söner.

Sonlu bir silindirde bel düzleminden yukarı çıkan uyduyu kütlenin büyük kısmı aşağı çeker. Hesabımızda 15 kilometre uzaklıkta, bel düzleminin 1 kilometre üstündeki geri çağırma ivmesi radyal çekimin 60'ta biri kadar. Bel hizasındaki çember bu yüzden iki yönde de kararlı. Rama'nın dönmesi tabloyu bozmuyor: kendi ekseni çevresinde dönen bir silindirin kütlesi her an aynı yerde durduğu için çekim alanı da sabit kalıyor. Asıl sınırı Güneş koyar. Dünya'nın Güneş'e uzaklığında 10¹⁶ kilogramlık bir cismin çekimi Güneş'inkine yaklaşık 1.800 kilometreye kadar üstün gelir.⁹ 15 kilometrelik bir yörünge bu sınırın yüz kat içinde kalıyor.

Galaksilerin dönme eğrisi

Uzaklıkla değişmeyen yörünge hızı astronomlara tanıdık gelir. Vera Rubin ile Kent Ford 1970'te Andromeda'daki gaz bulutlarının hızlarını ölçtü. 1980'de Rubin, Ford ve Norbert Thonnard 21 sarmal galakside yıldızların ve gazın merkezden uzaklaştıkça yavaşlamadığını gösterdi.¹⁰ Düz bir dönme eğrisi, çekimin silindirin yanındaki gibi uzaklıkla ters orantılı azaldığı anlamına gelir. Galaksi dinamiğinde aynı logaritmik çekim enerjisinin standart model olarak kullanılması bundandır.³

Benzerlik ölçülebiliyor. Bir yıldızın çember yörüngesinden sapınca ne sıklıkta salındığı, tur hızına bölündüğünde küre çekiminde 1, düz dönme eğrisinde √2, yani 1,41 çıkar. Jo Bovy, Gaia uydusunun ilk veri setindeki 304.267 yıldızdan Güneş civarının dönme değerlerini 2017'de ölçtü.¹¹ Bu değerlerle oran 1,32 ediyor. Güneş'in galaksi içindeki yolu da kapanmayan bir gül desenine yakın.

Einstein'ın kuramında da sonsuz silindirin tam çözümü var. Tullio Levi-Civita onu 1919'da buldu. Çözümün σ adlı bir parametresi var: σ küçükken Newton'un çizgi kütlesine, σ'nın kendisi de metre başına kütleye karşılık geliyor. Luis Herrera ve arkadaşlarının 2001'deki analizine göre dairesel yörünge hızı yine bütün uzaklıklarda aynı; σ büyüdükçe artıyor ve σ = 1/4'te ışık hızına ulaşıyor.¹² Bu eşik metre başına kütleye kabaca çevrilince 50 Dünya kütlesinden fazlası çıkıyor. Rama'nın σ değeri 1,5 × 10⁻¹⁶. Bu yüzden romandaki silindir için Newton hesabı yeterli: bel hizasında 15 kilometreden dönen bir uydu turunu 5,4 saatte tamamlar.

kafa1milyon

Meraklı bir kafa. Bilimsel makaleleri, arşiv belgelerini ve saha notlarını okuyup gündelik dile çeviriyor; bilinmeyeni bilinmiyor diye yazmaktan çekinmiyor.