1 + 1 = 2'yi kanıtlamak iki cilt sürdü

Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead, 1910 ile 1913 arasında üç cilt yayımladı. Adı Principia Mathematica. Amaç iddialıydı: bütün matematiği, birkaç mantık kuralından, hiçbir sezgiye başvurmadan türetmek. Kitabın en meşhur cümlesi ise bir kanıt değil, bir sözdü. İlk cildin 379. sayfasında, ✸54.43 numaralı önermenin altında şöyle yazıyor: bu önermeden, aritmetik toplama tanımlandığında 1 + 1 = 2 olduğu çıkacaktır.¹

Yani birinci ciltte söz verildi, kanıt ikinci cilde kaldı. 1912'de çıkan ikinci cildin 86. sayfasında, ✸110.643 numarasıyla iş bitirildi. Kanıtın altına iki yazar tek satır not düştü: yukarıdaki önerme zaman zaman işe yarar.²

Neden bu kadar zahmet?

Cevap, o yılların matematikçilerini geceleri uyutmayan bir korkuda. On dokuzuncu yüzyılın sonunda kümeler kuramı matematiğin yeni zemini olmuştu. Sonra Russell'ın kendisi bu zeminde bir çatlak buldu. Kendi kendisinin üyesi olmayan bütün kümelerin kümesini düşün. Bu küme kendisinin üyesi mi? Evet dersen değil, hayır dersen öyle. Basit bir soru, çelişkiyle bitiyor.

Bu tür çelişkiler matematiği ürküttü. Çünkü matematiğin gücü, sonuçlarının tartışmaya kapalı olmasından geliyor. Zeminde tek bir çelişki varsa, o zeminden istediğin her şeyi türetebilirsin; doğruyu da yanlışı da. Russell ve Whitehead'in çözümü şuydu: hiçbir şeyi apaçık saymayalım. En küçük adımı bile yazalım. "Bir" nedir, "toplama" nedir, "eşittir" nedir; hepsini mantığın diliyle baştan kuralım.

O yüzden kitapta sayfalar sembollerle dolu. Ve o yüzden herkesin kafadan bildiği bir toplama, kitabın ortalarında bir yerde, kendi numarasıyla karşımıza çıkıyor. Onlar 1 + 1 = 2'nin doğru olup olmadığını merak etmiyordu. Merak ettikleri şey, bu doğrunun hangi taşlar üstünde durduğuydu.

"379 sayfa sürdü" efsanesi

İnternette dolaşan hâli şöyle: Russell ve Whitehead 1 + 1 = 2'yi kanıtlamak için 379 sayfa harcadı. Bu, kulağa hoş gelen ama yanlış bir cümle. 379, kanıtın uzunluğu değil; birinci ciltte o sözün verildiği sayfanın numarası. Kanıtın kendisi bambaşka bir ciltte, toplama işlemi tanımlandıktan hemen sonra, birkaç satırda bitiyor.

Peki o yüzlerce sayfa ne? Zeminin kendisi. Önermeler mantığı, nicelik belirteçleri, tipler kuramı, kümelerin nasıl kurulacağı, "bir" sayısının ne demek olduğu. Toplama tanımına gelene kadar bütün bunların yerine oturması gerekiyor. Yani doğru soru "1 + 1 = 2 kaç sayfa aldı" değil; "1 + 1 = 2 diyebilmek için önce kaç şeyin tanımlanması gerekiyordu".

Bu ayrımı sevmemin bir sebebi var. Bilim tarihinde en çok dolaşan hikâyeler, genellikle en çok yuvarlanmış olanlar. Rakam akılda kalıyor, bağlam düşüyor. Oysa buradaki asıl hikâye rakamda değil: iki insanın, kimsenin şüphe etmediği bir şeyi baştan inşa etmeye gönüllü olmasında.

O notun esprisi ne?

"Zaman zaman işe yarar" cümlesi, ciddi bir mantık kitabında beklenmeyecek kadar sakin. Russell yıllar sonra bir söyleşide bu satırı hatırlayıp gülümsemiş; kitapta kendine izin verdiği pek az şakadan biri olduğunu söylüyor.³ İkinci cildi inceleyen matematikçi Philip Jourdain ise daha ileri gidip, kitaptaki tek şaka bu olabilir demiş.

Espri kuruluğun kendisinde. İki adam yıllarını verip insanlığın en bariz saydığı eşitliği kanıtlıyor, sonra kenara "ara sıra lazım oluyor" diye yazıyor. Aynı sayfada devam ediyorlar: bu önerme kitabın geri kalanında en az üç yerde kullanılıyor.

Matematikte zor olan, doğruyu bulmak değil; doğrunun neden doğru olduğunu tek bir boşluk bırakmadan söylemek. bu yazının tek cümlelik özeti

Sonu nasıl bitti?

Proje, kendi hedefine varamadı. 1931'de Kurt Gödel, aritmetiği kapsayan tutarlı bir sistemde doğru olduğu hâlde o sistem içinde kanıtlanamayan önermelerin hep bulunacağını gösterdi. Yani "her matematiksel doğruyu birkaç mantık kuralından türetelim" fikri, ilkesel olarak imkânsızdı.⁴ Gödel makalesinin başlığında bile Principia'ya doğrudan gönderme yapar; hedefini seçmişti.

Buna rağmen kitap boşa gitmedi. Bugün bilgisayarların matematik kanıtlarını satır satır denetlemesi, mantığın bu kadar didik didik yazılabildiğini gösteren o gelenekten çıktı. Nitekim Principia'nın 1 + 1 = 2 kanıtı, bilgisayarla doğrulanan kanıt kütüphanelerinde kendi numarasıyla duruyor; makine de aynı sonuca varıyor.⁵

Peki bu bize ne söylüyor?

Şunu söylüyor: "apaçık" bir yargı değil, bir alışkanlıktır. İki taşı bir arada görmek insana bir şey öğretir, ama neden her zaman ve her yerde böyle olduğunu söylemez. Russell ile Whitehead'in yaptığı iş, gündelik hayatta işimize yarayan sezgiyle, itiraz kabul etmeyen kanıt arasındaki mesafeyi ölçmekti. O mesafe, bir cilt boyunca söz vermek ve öbür ciltte ödemek kadar uzun çıktı.

Bir daha "bu apaçık" dediğinde, aklının bir köşesinde 86. sayfa dursun. Orada iki adam, herkesin bildiği bir şeyi kanıtlamış ve altına "ara sıra işe yarıyor" diye yazmış.

kafa1milyon

Meraklı bir kafa. Bilimsel makaleleri, arşiv belgelerini ve saha notlarını okuyup gündelik dile çeviriyor; bilinmeyeni bilinmiyor diye yazmaktan çekinmiyor.