# Matematiğin Temel Kapsamı

- Kaynak: https://kafa1milyon.com/yazi/matematigin-temel-kapsami/
- Yayın: 2026-10-21
- Bölüm: Bilim
- Yazar: kafa1milyon
- Etiketler: matematik, ispat, gödel, principia mathematica, sayılar kuramı, matematik felsefesi

> Matematik bugün 63 ana alana ve altı binden fazla alt koda bölünüyor. Principia'dan Gödel'e ve bilgisayarla denetlenen ispatlara, bu alanın sınırının nasıl çizildiğini anlattık.

---
Bertrand Russell ile Alfred North Whitehead'in *Principia Mathematica* adlı eserinin 1910'da basılan birinci cildinde, 379. sayfada, sembollerle dolu bir önermenin altında tek bir İngilizce cümle var: Bu önermeden, aritmetikte toplama tanımlandığında 1 + 1 = 2 sonucu çıkacak.[1] Toplamanın tanımı ve asıl ispat 1912'de çıkan ikinci ciltte, *110.643 numaralı önermede geldi. Yazarlar ispatın altına kuru bir not ekledi: Yukarıdaki önerme ara sıra işe yarar.[2]

Bu uzunluğun bir nedeni vardı. İki yazar, matematiğin tamamının birkaç mantık kuralından türetilebileceğini göstermek istiyordu. Matematiğin neyi kapsadığı sorusu o yüzden iki ayrı soruya bölünüyor: hangi konular matematiğe giriyor ve bu konularda neyin ispatlanabildiği.

- 1 + 1 = 2 sonucunun neden ikinci cildi beklemek zorunda kaldığını anlattık.
- Matematikçilerin kendi alanlarını bugün kaç başlığa ayırdığını ve biyolojinin, ekonominin bu listeye nasıl girdiğini gösterdik.
- 1930'da Königsberg'de art arda iki günde yaşanan ve matematiğin sınırını çizen olayı yazdık.
- Bir bilgisayar programının bugün kaç yüz bin teoremi adım adım denetlediğine baktık.


## Altmış üç ana alan

Okul kitaplarındaki tanım aşağı yukarı dört şey sayar: sayılar, şekiller, değişim ve olasılık. Araştırmacıların kullandığı liste çok daha uzun. Amerikan Matematik Derneği'nin yayımladığı Mathematical Reviews ile Almanya merkezli zbMATH Open, dünyada yayımlanan matematik makalelerini Matematik Konu Sınıflandırması (Mathematics Subject Classification, kısaca MSC) adlı ortak bir şemayla etiketliyor. Şema on yılda bir, matematikçilerden gelen önerilerle güncelleniyor. Son sürüm MSC2020'de 63 ana alan, 529 üç haneli alt alan ve altı binden fazla beş haneli kod bulunuyor.[3]

Listenin başlarında 03 numarayla matematiksel mantık ve temeller duruyor; Russell ile Whitehead'in uğraştığı soru bu başlığın altına giriyor. Sayılar kuramı 11, geometri 51, olasılık 60 numarada. Sonlara doğru liste fizikle iç içe geçiyor: akışkanlar mekaniği 76, kuantum kuramı 81, görelilik ve kütle çekimi 83. Oyun kuramı, ekonomi ve finans 91, biyoloji 92 numarayı taşıyor. Liste 97 numaralı matematik eğitimiyle kapanıyor.[3] Bir salgın modeli de bir opsiyon fiyatlama formülü de matematikçilerin kendi kataloğunda yer alıyor.

*Görsel: Resmî listede en çok alt başlığı ısının yayılmasını, dalgaları ve akışkanları anlatan kısmi diferansiyel denklemler taşıyor. Sayılar kuramı 283 kodla hemen arkasında. Kaynak: MSC2020 resmî kod listesi, msc2020.org. Damga: kafa1milyon.com*

Kodların sayısı bir alanın ne kadar dallandığını gösteriyor, önemini ölçmüyor. 85 numaralı astronomi ve astrofizik yalnızca 19 kod taşıyor, çünkü gökbilimin matematiği çoğunlukla başka başlıklarda, diferansiyel denklemlerde ve görelilikte sınıflanıyor.


## Kaç örnekte tuttuğu sayılmıyor

Matematiği deneysel bilimlerden ayıran şey yöntemi. Bir fizikçi ölçer, bir kimyager deneyi tekrarlar. Matematikte bir önerme, kabul edilmiş birkaç başlangıç ilkesinden, yani aksiyomlardan adım adım türetildiğinde doğru sayılır.

Goldbach sanısı bu farkı iyi gösteriyor. 1742'den beri bilinen sanıya göre 2'den büyük her çift sayı iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir. Tomás Oliveira e Silva, Siegfried Herzog ve Silvio Pardi, 2012'de bitirdikleri bilgisayar hesabıyla sanının 4 × 10[18]'e kadar bütün çift sayılarda tuttuğunu doğruladı; sonuç 2014'te *Mathematics of Computation* dergisinde yayımlandı.[4] Dört milyar kere milyar sayı denendi. Goldbach yine de sanı olarak duruyor, çünkü sonsuz sayıda çift sayının her biri için geçerli olduğunu gösteren bir ispat yok.

*Görsel: *54.43 önermesi. İki ayrı tek elemanlı sınıfın birleşiminin iki elemanlı olduğunu söylüyor; altındaki not 1 + 1 = 2 sonucunu ileriki bir cilde bırakıyor. Kaynak: Whitehead ve Russell, Principia Mathematica, Cilt I, 1910. Kamu malı, Wikimedia Commons*

Russell ile Whitehead bu türetmeyi en alttan, mantığın kendisinden başlatmak istedi. 1 + 1 = 2'ye varmadan önce sınıfı, tek elemanlı sınıfı, iki küme arasındaki birebir eşlemeyi tek tek tanımlamaları gerekti. Eser 1910 ile 1913 arasında Cambridge University Press'ten üç cilt hâlinde çıktı.[5]

- **63** — Matematik makalelerinin sınıflandığı MSC2020 şemasındaki ana alan sayısı.MSC2020, Mathematical Reviews ve zbMATH Open
- **4 × 10[18]** — Goldbach sanısının bilgisayarla denendiği üst sınır; sanı hâlâ ispatlanmış değil.Oliveira e Silva vd., Mathematics of Computation, 2014
- **290.943** — Lean programının ortak kütüphanesi mathlib'de denetlenmiş teorem sayısı, 21 Ekim 2026 itibarıyla.Lean topluluğu, mathlib istatistikleri
- **2029** — Fermat'nın Son Teoremi ispatını Lean'e aktarma projesinin ilk aşamasının bittiği yıl.EPSRC, EP/Y022904/1


## Königsberg, Eylül 1930

Bu programın sınırı yirmi yıl sonra Doğu Prusya'nın Königsberg kentinde, bugün Rusya'ya bağlı Kaliningrad'da çizildi. 7 Eylül 1930 pazar sabahı, matematiğin temelleri üzerine yapılan bir tartışma oturumunda 24 yaşındaki Avusturyalı mantıkçı Kurt Gödel söz aldı. Klasik matematiğin biçimsel sisteminde, içerik olarak doğru olduğu hâlde ispatlanamayan önermeler bulunabileceğini söyledi ve örnek olarak Goldbach ya da Fermat türünden önermeleri verdi.[6] Oturumda bu cümlenin ağırlığını fark eden neredeyse tek kişi Macar asıllı matematikçi John [von Neumann](https://kafa1milyon.com/yazi/yasam-zeka-teknoloji-arasindaki/)'dı.

Ertesi gün, 8 Eylül'de, Alman Doğa Bilimciler ve Hekimler Derneği'nin aynı şehirdeki toplantısında David Hilbert konuştu. Konuşmanın dört dakikalık bölümü radyodan yayımlandı ve şu cümleyle bitti: Bilmek zorundayız, bileceğiz.[7] Hilbert matematikte sonsuza dek cevapsız kalacak soru olmadığına inanıyordu.

*Görsel: Hilbert'in Göttingen'deki mezar taşı. Alt bölümdeki yazıt 1930 konuşmasının son cümlesi: Wir müssen wissen, wir werden wissen. Fotoğraf: Julian Herzog, Wikimedia Commons, CC BY 4.0*

Gödel'in ispatı 1931'de *Monatshefte für Mathematik und Physik* dergisinde yayımlandı ve başlığında *Principia Mathematica*'nın adı geçiyordu.[8] Bugün şöyle özetleniyor: aritmetiği ifade edebilecek kadar güçlü ve kendi içinde çelişkisiz her biçimsel sistemde, o sistemin ispatlayamadığı doğru önermeler vardır. Matematikçiler ispat yazmayı bırakmadı; son yirmi yılda ispatları denetleme işinin bir kısmını bilgisayara devretmeye başladılar.


## Adım adım denetim

Lean adlı ispat denetleyicisi, bir ispatın her adımının kurallara uyup uymadığını kontrol eden bir program. Gönüllülerin büyüttüğü ortak kütüphanesi mathlib'de 21 Ekim 2026 itibarıyla 139.460 tanım ve 290.943 teorem var, katkı veren kişi sayısı 772.[9]

Programın en çok konuşulan sınavı Peter Scholze'den geldi. 2018'de Fields Madalyası alan Alman matematikçi, Dustin Clausen'le birlikte ispatladığı ama kendisinin de tam emin olamadığı bir teoremi Aralık 2020'de bir blog yazısıyla Lean topluluğuna sundu. Johan Commelin'in yürüttüğü ekip teoremin teknik çekirdeğini 28 Mayıs 2021'de, tamamını 14 Temmuz 2022'de doğruladı.[10]

Sıradaki büyük iş Fermat'nın Son Teoremi. Andrew Wiles'ın 1994'te Richard Taylor'la ortak makalesiyle tamamladığı ispatı Lean'e aktaran proje, Londra'daki Imperial College'dan Kevin Buzzard'ın yürütücülüğünde, İngiltere'nin mühendislik ve fizik bilimleri araştırma konseyi EPSRC'nin 934.043 sterlinlik hibesiyle 1 Ekim 2024'te başladı. İlk aşamanın hedefi ispatı, 1980'lerin sonunda bilinen sonuçlara dayandırmak. Hibe 30 Eylül 2029'da bitiyor.[11]


## Dipnotlar ve Kaynaklar

1. Alfred North Whitehead, Bertrand Russell (1910). *Principia Mathematica*, Cilt I, *54.43, s. 379. Cambridge University Press. [University of Michigan Historical Math Collection](https://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/aat3201.0001.001/401)
2. Alfred North Whitehead, Bertrand Russell (1912). *Principia Mathematica*, Cilt II, *110.643, s. 86. Cambridge University Press. Önermenin modern biçimsel aktarımı: [Metamath Proof Explorer](https://us.metamath.org/mpeuni/dju1p1e2.html)
3. Edward Dunne, Klaus Hulek (2020). "Mathematics Subject Classification 2020". *EMS Newsletter* 115. [doi:10.4171/news/115/2](https://doi.org/10.4171/news/115/2). Resmî kod listesi: [msc2020.org](https://msc2020.org/)
4. Tomás Oliveira e Silva, Siegfried Herzog, Silvio Pardi (2014). "Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to 4·10[18]". *Mathematics of Computation* 83(288): 2033-2060. [doi:10.1090/S0025-5718-2013-02787-1](https://doi.org/10.1090/S0025-5718-2013-02787-1)
5. Bernard Linsky, Andrew David Irvine. "Principia Mathematica". *Stanford Encyclopedia of Philosophy*. [plato.stanford.edu](https://plato.stanford.edu/entries/principia-mathematica/)
6. Kurt Gödel (1931). "Diskussion zur Grundlegung der Mathematik". *Erkenntnis* 2. İngilizce çevirisi: *Collected Works*, Cilt I, Oxford University Press, 1986. Oturumun tarihi ve akışı için: James T. Smith, "David Hilbert's Radio Address", *Convergence*, Mathematical Association of America. [maa.org](https://old.maa.org/press/periodicals/convergence/david-hilberts-radio-address-hilbert-and-mathematical-inquiry)
7. David Hilbert (1930). "Naturerkennen und Logik". *Die Naturwissenschaften* 18: 959-963. Radyo kaydının metni ve çevirisi: [maa.org](https://old.maa.org/press/periodicals/convergence/david-hilberts-radio-address-german-and-english)
8. Kurt Gödel (1931). "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I". *Monatshefte für Mathematik und Physik* 38: 173-198. [doi:10.1007/BF01700692](https://doi.org/10.1007/BF01700692)
9. Lean topluluğu. mathlib istatistikleri, erişim 21 Ekim 2026. [leanprover-community.github.io](https://leanprover-community.github.io/mathlib_stats.html)
10. Lean topluluğu (2022). "Completion of the Liquid Tensor Experiment". Lean community blog, 15 Temmuz 2022. [leanprover-community.github.io](https://leanprover-community.github.io/blog/posts/lte-final/); proje deposu: [github.com](https://github.com/leanprover-community/lean-liquid)
11. EPSRC. "Formalising Fermat", hibe EP/Y022904/1, yürütücü Kevin Buzzard, Imperial College London, 1 Ekim 2024 - 30 Eylül 2029. [gow.epsrc.ukri.org](https://gow.epsrc.ukri.org/NGBOViewGrant.aspx?GrantRef=EP/Y022904/1); proje sayfası: [imperialcollegelondon.github.io](https://imperialcollegelondon.github.io/FLT/)
12. Görseller: Kapak, "Formulas on an old blackboard", Roman Mager, Wikimedia Commons, CC0. [commons.wikimedia.org](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Formulas_on_an_old_blackboard_(Unsplash).jpg). Principia sayfası, kamu malı, [commons.wikimedia.org](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Principia_Mathematica_54-43.png). Hilbert'in mezarı, Julian Herzog, CC BY 4.0, [commons.wikimedia.org](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Grave_of_David_Hilbert_at_Stadtfriedhof_G%C3%B6ttingen_2017.jpg)


---

Tamamı ve sesli anlatım: https://kafa1milyon.com/yazi/matematigin-temel-kapsami/